تفكير كم ي الت اسعة - العاشرة في معظم املدارس في البالد(. صحيحة. أو في سطور. االمتحان.

Transcript

1 كر اس إرشاد إمتحان الد خول الس يكومتري للجامعات تفكير كم ي في هذا املجال ت فحص القدرة على استعمال أرقام ومصطلحات رياضية حلل مسائل كم ي ة والقدرة على حتليل م عطيات معروضة بأشكال مختلفة مثل رسوم بياني ة وجداول. املعرفة املطلوبة في الر ياضي ات هي مبستوى أساسي )املاد ة ال تي ت د ر س حت ى الص فوف الت اسعة - العاشرة في معظم املدارس في البالد(. كل األسئلة في هذا املجال هي من صنف متعد دة-اخليارات: كل سؤال تليه أربع إمكاني ات إجابة وفقط واحدة منها صحيحة. في فصل الت فكير الكم ي ت رجم ت بعض املصطلحات الر ياضي ة إلى الل غة العبري ة. تظهر الت رجمة )بني قوسني( مباشرة بعد املصطلح الر ياضي بالعربي ة. في فصل الت فكير الكم ي تظهر أسئلة من نوعني: مسائل رياضي ة وأسئلة استنتاج من رسم بياني أو من جدول. مسائل رياضي ة تعالج هذه األسئلة عد ة مواضيع من مجاالت اجلبر والهندسة. بعض األسئلة ت عرض مبصطلحات رياضي ة وبعض األسئلة هي مسائل كالمي ة وال تي يجب فيها أو ال ترجمة املسألة إلى مصطلحات رياضي ة. أسئلة إستنتاج من رسم بياني أو من جدول ت عالج هذه األسئلة معلومات مبي نة في رسم بياني أو في جدول. ت عرض في الر سم البياني م عطيات بصورة بياني ة: في أعمدة في خطوط بالن قاط املبعثرة وما إلى ذلك. ت عر ض امل عطيات في اجلدول في أعمدة أو في سطور. في كل صنف من األسئلة تظهر األسئلة عادة بترتيب صعوبة متصاعد: في البداية األسئلة سهلة ويتطل ب حل ها وقت ا قصير ا نسبي ا وتدريجي ا تصبح األسئلة صعبة اكثر ويتطل ب حل ها وقت ا أطول. الر سومات ال تي ت لحق ببعض األسئلة ليست بالض رورة مرسومة مبوجب مقياس رسم: يجب عدم االستنتاج عن طول قطعة عن قيمة زاوية وما شابه ذلك حسب صورة الر سم فقط. مع ذلك عندما يظهر خط مستقيم فيمكن االفتراض أن ه مستقيم حق ا. تظهر في بداية الفصل»صفحة قوانني«وال تي تشمل تعليمات مالحظات وقوانني مختلفة. ميكنك االستعانة بها خالل االمتحان. تظهر صفحة القوانني ايض ا في هذا الكر اس )في الص فحة الت الي ة( وفي فصول الت فكير الكم ي في امتحان الت جربة. من احملب ذ الت عر ف جي د ا على مضمون هذه الص فحة والت مك ن منه قبل االمتحان. في الص فحات 6-4 توجد مراجعة للمصطلحات األساسي ة في الر ياضي ات ال تي تعكس إلى حد كبير املواد ال تي ترتكز عليها األسئلة في مجال الت فكير الكم ي. مع ذلك ميكن أن تظهر في االمتحان ذاته أسئلة يحتاج حل ها إلى معرفة مصطلحات ونظري ات رياضي ة إضافي ة ال تظهر في هذه الص فحات. في الص فحات 8-69 توجد أمثلة ألنواع مختلفة من األسئلة ولكل سؤال م رفق حل وشرح مفص ل. 9

2 تفكير كم ي صفحة قوانين تظهر في هذا الفصل أسئلة ومسائل في الت فكير الكم ي. لكل سؤال اق ت ر ح ت أربع إجابات. عليك أن تختار اإلجابة الص حيحة وأن تشير إلى رقمها في املكان املالئم في صفحة اإلجابات. مالحظات عام ة في هذا الفصل 0 سؤاال. الوقت امل خص ص 0 دقيقة. * الر سومات املرفقة ببعض األسئلة هي للمساعدة على حل ها لكن ها ليست بالض رورة مرسومة مبوجب مقياس رسم. يجب عدم االستنتاج عن أطوال القطع عن ق ي م الز وايا وعن ما شابه ذلك حسب صورة الر سم فقط. * إذا ظهر خط مستقيم في الر سم ميكن االفتراض أن ه مستقيم حق ا. * حينما يظهر في سؤال مصطلح هندسي )ضلع نصف قطر مساحة حجم وإلخ( كمعطى فاملقصود هو مصطلح قيمته أكبر من صفر إال إذا ذ ك ر غير ذلك. < ( 0) املقصود هو اجلذر املوجب ل. عندما يظهر في الس ؤال * 0 ليس عدد ا موجب ا وليس عدد ا سالب ا. * 0 هو عدد زوجي. * ليس عدد ا أو لي ا. * قوانين 00. الن سبة املئوي ة: % من x هو $ x. القوى: لكل عدد يختلف عن الص فر ولكل n و m صحيحني - m + n m n أ. n ب. n ج. < 0 < m) ^ h (0 m n m n د. n m ( n ) m ضرب مختصر: ( ± b) ± b + b. ( + b)( b) b املسافة الز من الس رعة.4 5. القدرة كم ي ة العمل الز من.6 مضروب العدد )עצרת(:... ) )(n n! n(n.7 إذا كان D E F DE ا DF وأيض DE EF إذن 8. املثل ث: أ. مساحة مثل ث طول قاعدته وارتفاعه على h هذه القاعدة :h $ ب. نظري ة فيثاغورس: في مثل ث قائم الز اوية كما يظهر في الر سم, يتحق ق + ج. في مثل ث قائم الز اوية وال ذي ق ي م زواياه طول القائم املقابل للز اوية 0 يساوي نصف الوتر h D E F.9 مساحة مستطيل طوله وعرضه b :b وتر قاي م قاي م b 0. مساحة شبه منحرف طول إحدى قاعدتيه وطول القاعدة األخرى b وارتفاعه h: ] + b g h $. زوايا داخلي ة في مضل ع ذي n أضالع: أ. مجموع الز وايا هو (60 80n) درجة ب. إذا كان املضل ع منتظم قيمة كل زاوية داخلي ة هي 80 درجة 60 k 80 n n 60 k n. الد ائرة: أ. مساحة دائرة نصف قطرها r: (π.4...) πr ب. محيط الد ائرة هو πr ج. مساحة قطاع دائرة ذي زاوية رأس x: π r $ x 60. الص ندوق املكع ب: أ. حجم صندوق طوله عرضه b b وارتفاعه b c :c ب. مساحة أوجه الص ندوق: b + bc + c ج. في املكع ب يتحق ق b c 4. األسطوانة: أ. مساحة غالف أسطوانة نصف قطر قاعدتها r وارتفاعها πr h :h ب. مساحة أوجه األسطوانة: h b r x r h r r c h πr + πr h πr(r + h) ج. حجم األسطوانة: πr h 5. حجم مخروط نصف قطر قاعدته r وارتفاعه h: πr $ h S $ h 6. حجم هرم مساحة قاعدته S وارتفاعه h: 40

3 كر اس إرشاد إمتحان الد خول الس يكومتري للجامعات مراجعة مصطلحات أساسي ة في الر ياضي ات إشارات اإلشارة b b «x y x y x < y x y < x, y x + x x : y داللتها املستقيمان وb متوازيان املستقيمان وb متعامدان زاوية 90 زاوية قائمة الز اوية احملصورة بني القطعة والقطعة y يساوي x y ال يساوي x y أصغر من x x أصغر من y أو يساويه أيض ا x وأيض ا y أكبر من )-( يساوي x أو يساوي x القيمة املطلقة ل x الت ناسب بني x و y أنواع األعداد عدد صحيح: هو عدد مكو ن من وحدات صحيحة. عدد صحيح ميكن أن يكون سالب ا موجب ا أو صفرا. مثال : إنتبه: الص فر هو عدد صحيح ليس موجبا وليس سالبا. عدد غير صحيح: هو عدد ال ميكن الت عبير عنه بوحدات صحيحة. مثال :.7 أعداد متتالية: هي اعداد صحيحة يلي أحدها اآلخر بفارق. مثال 4 و 5 هما عددان متتاليان, و 4 هي أعداد متتالية وكذلك (-) و (-) هما عددان متتاليان. بشكل عام إذا كان n عدد ا صحيح ا فإن n و ( + n) هما عددان متتاليان. أو ميكن القول: ( + n) هو متتالي n. عدد زوجي : هو عدد صحيح إذا قسمناه على نحصل على عدد صحيح )أي أن ه ينقسم على بدون باق (. بشكل عام إذا كان n عدد ا صحيح ا فإن n هو عدد زوجي. إنتبه: 0 هو عدد زوجي. عدد فردي : هو عدد صحيح إذا قسمناه على نحصل على عدد غير صحيح )أي أن ه ينقسم على مع باق (. بشكل عام إذا كان n عدد ا صحيح ا فإن +n هو عدد فردي. 4 عدد أو لي : هو عدد صحيح وموجب ينقسم بدون باق على عددين فقط: على نفسه وعلى. مثال : هو عدد أو لي ألن ه ينقسم بدون باق على وعلى فقط. إنتبه: غير م عر ف كعدد أو لي.

4 تفكير كم ي أعداد متضاد ة: زوج أعداد حاصل جمعهما يساوي صفر. مثال: 4 و (4-) هما عددان متضاد ان. وبشكل عام و (-) هما عددان متضاد ان (0 (-) ) + أو بكلمات أخرى (-) هو العدد املضاد ل. أعداد مقلوبة: زوج أعداد حاصل ضربهما يساوي. 7 و 7 هما عددان مقلوبان وكذلك أيض ا مثال: و. وبشكل عام لكل 0 b : هو مقلوب. أو بكلمات أخرى $ هما عددان مقلوبان k و. b b هو مقلوب أو بكلمات أخرى b b $ b l هما عددان مقلوبان b و b إذا < x 0 إذن x x إذا < 0 x إذن x -x. 0 0 قيمة م طلقة: عملي ات حسابي ة في األعداد الز وجي ة والفردي ة )إقرأ من اليمني إلى اليسار( زوجي + زوجي زوجي فردي + فردي زوجي فردي + زوجي فردي زوجي - زوجي زوجي فردي - فردي زوجي زوجي - فردي فردي فردي - زوجي فردي زوجي زوجي زوجي فردي فردي فردي فردي زوجي زوجي ال توجد قواعد مشابهة تنطبق على عملي ات القسمة. مثال خارج قسمة عددين زوجي ني قد يكون عدد ا فردي ا k k أو عدد ا غير صحيح زوجي ا k 4 4

5 كر اس إرشاد إمتحان الد خول الس يكومتري للجامعات العوامل )القواسم( واملضاعفات عامل )قاسم( لعدد صحيح وموجب x هو كل عدد صحيح وموجب ينقسم عليه x بدون باق. مثال عوامل العدد 4 هي: و.4 عامل مشترك ل x و y هو عدد يكون عامال ل x وأيض ا عامال ل. y مثال 6 هو عامل مشترك للعددين 4 و 0. عامل أو لي هو عامل وهو أيض ا عدد أولي. مثال العوامل االو لي ة للعدد 4 هي و. كل عدد صحيح وموجب )أكبر من ) ميكن كتابته كعملي ة ضرب بني عوامل أو لي ة. مثال.4 املضاع ف لع د د صحيح x هو كل عدد صحيح ينقسم على x بدون باق. مثال 6 و 88 هي مضاعفات 8. عندما ي ذكر في الس ؤال»ينقسم«فالقصد هو»ينقسم بدون باق «. عملي ات حسابي ة في الكسور االختزال عندما يكون للبسط وللمقام في كسر عامل مشترك ميكن قسمة كل واحد منهما على العامل املشترك واحلصول على كسر b l 6 على 4 نحصل على مساو للكسر األصلي ذي بسط ومقام اصغر. مثال اذا قسمنا بسط ومقام الض رب لكي نضرب كسرين يجب ضرب البسوط بعضها ببعض وكذلك املقامات بعضها ببعض. $ مثال: $ $ 7 القسمة لكي نقسم عدد ا على كسر يجب ضرب العدد مبقلوب الكسر املقسوم عليه $ 8 $ 6 5 $ 5 مثال: لكي تتم عملي ات ضرب أو قسمة بني عدد صحيح وكسر ميكن اعتبار العدد الص حيح كسر ا مقام ه. مثال. اجلمع والط رح عندما جنمع أو نطرح كسور ا يجب حتويلها إلى كسور ذات مقام مشترك. مقام مشترك هو عدد ينقسم على مقام كل واحد من الكسور بدون باق. بعد أن وجدنا عدد ا مالئم ا ليكون مقام ا مشترك ا يجب»ترجمة«كل واحد من الكسور إلى كسر ذي مقام مساو للمقام املشترك. للوصول إلى ذلك يجب ضرب بسط ومقام كل كسر بالعدد الص حيح نفسه بحيث نحصل في املقام على العدد ال ذي مت اختياره ليكون املقام املشترك. مبا أن ه مت ضرب البسط واملقام بالعدد نفسه عملي ا ضرب الكسر ب ولم تتغي ر قيمته. بعد»ترجمة«الكسور إلى كسور ذات مقام مشترك يجب جمع أو طرح البسوط اجلديدة ال تي حصلنا عليها واختزال الن تيجة إذا أمكن األمر. 4

6 تفكير كم ي مثال ? مقام مشترك ممكن هو 4 ألنه ينقسم على مقام كل كسر من الكسور بدون باق : »نترجم«كل واحد من الكسور إلى كسر ذات املقام املشترك هذا: ونحصل على: الن سب املئوي ة. x الن سب املئوي ة هي حالة خاص ة من الكسور: % من x هي $ 00 في األسئلة ال تي تظهر فيها نسب مئوي ة يجب ترجمة الن سب املئوي ة إلى كسر مقامه 00 وحل ها مثل متارين الكسور العادي ة. مثال كم يساوي 60 باملئة من بدال من الن سبة املئوي ة 60% ون حل مثل عملي ة ضرب عادي ة للكسور: 00 نضع الكسر $ $ 80 6$ 8 48 أي أن 60% من 80 هي 48. مثال في األسئلة املتعل قة بتغيير في الن سب املئوي ة املقصود هو الن سبة املئوي ة من القيمة األولى إال إذا ذ كر خالف ذلك بصورة واضحة. سعر غرض كل ف 80 شيكل إرتفع ب 5%. ما هو سعره اجلديد مبا أن ه قد أ ضيف 5% إلى الث من القدمي فإن الث من اجلديد هو 5% من الث من القدمي (5%+ 00%) ولذلك يجب إيجاد كم تساوي 5% من $ نحو ل الن سبة املئوي ة إلى كسر مئوي ونحل : 00 أي أن الث من اجلديد هو 00 شيكل. 44

7 كر اس إرشاد إمتحان الد خول الس يكومتري للجامعات مثال إنخفض سعر غرض من 5 إلى شيكل. ما هي الن سبة املئوي ة ال تي انخفض بها الس عر في املثال الت الي م عطى الت غيير في سعر غرض معني ويجب حساب الن سبة املئوي ة للت غيير. الت غيير في الس عر هو شيكل من 5 شيكل. يجب حساب كم جزء ا من مائة ت شك ل من 5. $ 00 ونحل املعادلة: 0 $ نترجم الس ؤال إلى تعبير رياضي : أي أن الس عر إنخفض ب 0%. الت ناسب تناسب x إلىy ي كتب. x : y إنتبه: الت ناسب ي كتب بصياغة كالمي ة من اليمني إلى اليسار وبصياغة رياضي ة )باألعداد(- من اليسار إلى اليمني. مثال الت ناسب بني عدد أزواج جوارب نائل وبني عدد قمصانه هو. : أي أن مقابل كل أزواج جوارب عند نائل قمصان. مر ة عدد قمصانه. بكلمات أخرى عدد أزواج جوارب نائل يساوي املعد ل معد ل حسابي ملجموعة قي م هو عدد ناجت عن قسمة مجموع القي م على عدد القي م. عندما يكتب في األسئلة»معد ل«فقط فاملقصود هو معد ل حسابي ل مجموعة القي م 0 5 و هو 8 :8 5 5 مثال معد إذا أ عطي معد ل مجموعة قي م ميكن حساب مجموعها بواسطة ضرب املعد ل بعدد القي م. مثال إشترى رامي 5 سلع معد ل ثمنها 0 شيكل. كم دفع رامي مقابل جميع الس لع في هذا الس ؤال يجب أن جند املجموع باالستناد الى املعد ل ولذلك نضرب املعد ل بعدد الس لع: أي دفع رامي مبلغ 50 شيكل مقابل جميع الس لع ال تي اشتراها. معد ل م وزون هو املعد ل ال ذي يأخذ باحلسبان الوزن الن سبي لكل واحدة من القي م املوجودة في املجموعة. مثال في امتحان نصف الفصل كانت عالمة يوسف 75 وفي االمتحان الن هائي كانت عالمته 90. إذا كان وزن االمتحان الن هائي يساوي مر تني وزن امتحان نصف الفصل ماذا ستكون عالمة يوسف الن هائي ة في الفصل مجموعة القيم التي ت كو ن عالمة يوسف الن هائي ة في الفصل هي 75 و 90 ولكن لكل واحدة منهما وزن مختلف. للعالمة 75 يوجد الوزن وللعالمة 90 يوجد الوزن. حت ى نحسب املعد ل املوزون يجب ضرب كل عالمة بوزنها ومن $ أي أن عالمة يوسف الن هائي ة في الفصل هي $ + ثم القسمة على مجموع الو ز ن ني: هذا احلساب مطابق حلساب املعد ل احلسابي العادي لثالثة أعداد: 90 75, و

8 تفكير كم ي -. n القوى واجلذور n. $... $ $ رفع عدد للقو ة (n n عدد صحيح وموجب( هو ضربه بنفسه n مر ات: n مر ات مثال -7 (-)(-)(-).(-) n ت سمى»عملية رفع للقو ة«n ي سم ى»أ س«و ي سم ى»قاعدة القو ة«. كل عدد يختلف عن الص فر مرفوع للقو ة 0 يساوي : 0 لكل 0. n k :)n( لقو ة العدد املضاد لأل س عملي ة رفع عدد )( لقو ة ذات أ س سالب )n-( ت عر ف كرفع مقلوب العدد k. - مثال $ $ l b 8 n جذر ال n لعدد موجب املشار إليه ب هو عدد موجب b إذا رفعناه للقو ة n نحصل على :. 4 4 n اذا b n اذن. b مثال, 8 ألن 8 عندما ال ت ذكر قيمة اجلذر فاملقصود هو اجلذر ال ذي قيمته, مثال : اجلذر ال ذي قيمته ي سم ى أيض ا اجلذر الت ربيعي. ميكن أيض ا الت عبير عن جذر كقو ة فيها األ س هو كسر. هذا الكسر هو مقلوب قيمة اجلذر:.] 0 < g n n. ( فاملقصود هو اجلذر املوجب ل 0 < ( إنتبه: عندما ي كتب في الس ؤال قوانني أساسي ة في عملي ات القوى )لكل n و m(: الض رب: حت ى نضرب قوى لها نفس القاعدة يجب جمع اإلساس: (n. m n m) + القسمة: حت ى نقسم قوى لها نفس القاعدة يجب طرح األ س املوجود في املقام من األ س املوجود في البسط:. m n ( m n ) إنتبه: عندما تكون قواعد القوى غير متطابقة ال ميكن جمع أو طرح اإلساس.. ^ h ( mn $ رفع للقو ة: حت ى نرفع قوة لقوة أخرى يجب ضرب اإلساس بعضها ببعض: ) m n m n m n m m. b b l ة حلاصل ضرب أو خارج قسمة: m ( b) m m b m b رفع للقو مبا أن ه ميكن وصف اجلذور كقوى أيض ا ميكن تطبيق قوانني القوى على اجلذور أيض ا. $ $ ] نعب ر أو ال عن اجلذور كقوى: 0 < g m $ مثال حت ى نحل عملي ة الض رب n. m n m + n $ وفي املرحلة الت الية نحل حسب قانون الض رب في القوى أي جنمع اإلساس: b l تباينات في القوى: إذا < b < 0 وأيض ا < n 0 إذن.b n < n إذا < b < 0 وأيض ا < 0 n إذن. n < b n إذا < وأيض ا m < n إذن. m < n إذا < < 0 وأيض ا m < n إذن. n < m 46

9 كر اس إرشاد إمتحان الد خول الس يكومتري للجامعات قوانني ضرب مختصر حت ى نضرب تعبيرين م عطي ني بني أقواس وكل تعبير فيهما هو مجموع حدود يجب ضرب كل حد من حدود الت عبير األو ل بكل حد من حدود الت عبير الث اني ومن ثم جمع حواصل الض رب. مثال.(+b) (c+d) c + d + bc + bd مبوجب هذا القانون العام ميكن حساب كل عملي ة ضرب لتعبيرين ولكن ميكنك توفير ا للوقت أن حتفظ غيب ا عد ة قوانني شائعة: (+b) (+b) (+b) + b + b ( b) ( b) ( b) b + b ( b) (+b) b توافقي ات - كومبين توريكا جتربة متعد دة املراحل مثال ن لقي مكع ب ا وبعد ذلك ن لقي قطعة نقود. ما هو عدد الن تائج املمكنة لهذه الت جربة في هذه الت جربة مرحلتان: مرحلة إلقاء املكع ب ومرحلة إلقاء قطعة الن قود. عدد الن تائج املمكنة لرمي مكع ب هي 6 وعدد الن تائج املمكنة لرمي قطعة نقود هي. عدد الن تائج املمكنة لهذه الت جربة هو 6 نتيجة واحدة ممكنة هي مثال العدد في املكع ب والوجه»شجرة«في قطعة الن قود. في الواقع لن يغي ر شيء إذا رمينا املكع ب وبعد ذلك رمينا قطعة الن قود او إذا رمينا قطعة الن قود وبعد ذلك رمينا املكع ب أو رميناهما مع ا. في كل حالة هنالك نتيجة ممكنة. فيما يلي سنتطر ق إلى جتربة متعد دة املراحل معطى فيها n من األشياء ويجب أن ن خرج منها شيئ ا واحد ا عشوائي ا r من املر ات. كل إخراج لشيء من املجموعة هو مرحلة في الت جربة ويوجد في الت جربة كلها r مراحل. عدد الن تائج املمكنة في كل واحدة من ال r مراحل متعل ق بطريقة إخراج األشياء. عدد الن تائج املمكنة في الت جربة الش املة هو ضرب عدد الن تائج املمكنة احلاصلة في r مراحل بعضها ببعض. كل نتيجة ممكنة في الت جربة تسم ى عي نة. عي نات ترتيبي ة مع إرجاع طريقة إخراج األشياء: الش يء ال ذي أ خرج ي عاد إلى املجموعة فور ا بعد إخراجه وثم ة أهمي ة للت رتيب ال ذي أ خرجت فيه األشياء. عدد الن تائج املمكنة: في كل مرحلة عدد الن تائج املمكنة هو n لذلك فإن عدد الن تائج املمكنة في كل ال r مراحل أي في الت جربة كل ها هو.n n... n n r إنتبه: بطريقة اإلخراج هذه ميكن أن يتم إخراج شيء واحد أكثر من مر ة. عدد العي نات الت رتيبي ة مع إرجاع هو n r 47

10 تفكير كم ي مثال توجد في علبة 9 كرات م رق مة من حت ى 9. ن خرج من العلبة كرة واحدة عشوائي ا ن رجعها ثم نكر ر هذه العملي ة مر تني إضافي تني. ن سج ل )من اليسار لليمني( أرقام الكرات ال تي أ خرجت بحسب ترتيب إخراجها بحيث نحصل على عدد ثالثي املنازل. كم عدد ا مختلف ا ثالثي املنازل ميكن احلصول عليه بهذه الط ريقة في هذه الت جربة ثم ة أهمي ة للت رتيب: مثال إذا كانت أرقام الكرات امل ستخرجة هي 8 و بهذا الت رتيب فسنحصل على العدد 8 لكن إذا أخرجنا الكرات بهذا الت رتيب و 8 فإن العدد الن اجت هو 8 وهذان عددان مختلفان. عدد املراحل في الت جربة هو وفي كل مرحلة عدد االحتماالت املمكنة هو 9 ولذلك فإن عدد الن تائج املمكنة في الت جربة بأكملها هو 79 9 أي ميكن احلصول على 79 عدد ا مختلف ا ثالثي املنازل. مثال عي نة ترتيبي ة بدون إرجاع طريقة إخراج األشياء: الش يء ال ذي ي خرج ال ي عاد إلى املجموعة بعد إخراجه وثم ة أهمي ة للت رتيب ال ذي ن خرج فيه األشياء. عدد الن تائج املمكنة: عدد الن تائج املمكنة في املرحلة األولى هو n عدد الن تائج املمكنة في املرحلة الث انية هو n )إذ إن الش يء ال ذي أ خرج في املرحلة األولى لم يتم إرجاعه فبقي n من األشياء ال تي ميكن االختيار من بينها( وهكذا حت ى املرحلة األخيرة املرحلة r ال تي يكون فيها عدد الن تائج املمكنة هو + r n. لذلك فإن عدد الن تائج املمكنة في الت جربة كلها هو ) + r.n (n )... (n عدد العي نات الت رتيبي ة دون إرجاع هو ) + r n (n )... (n توجد في علبة 9 كرات م رق مة من حت ى 9. نخرج من العلبة عشوائي ا كرات الواحدة تلو األخرى دون إرجاع كرة مت إخراجها. نسج ل )من اليسار لليمني( أرقام الكرات املستخرجة بحسب ترتيب إخراجها بحيث ينتج عدد ثالثي املنازل. كم عدد ا ثالثي املنازل مختلف ا ميكن احلصول عليه بهذه الط ريقة في هذه الت جربة أيض ا ثم ة أهمية للت رتيب ال ذي أ خرجت به الكرات ولكن بخالف املثال الس ابق في هذه الت جربة ال يتم إرجاع الكرات ال تي أ خرج ت إلى العلبة ولذلك عدد الن تائج املمكنة في املرحلة األولى هو 9 في املرحلة الث انية - 8 وفي املرحلة الث الثة - 7. عدد الن تائج املمكنة في الت جربة بأكملها هو أي ميكن احلصول على 504 أعداد مختلفة ثالثي ة املنازل. ترتيبات داخلي ة عندما نكو ن عي نة ترتيبي ة دون إرجاع من كل n األشياء في املجموعة )أي إذا كان r( n فكل نتيجة ممكنة تصف ترتيب ا داخلي ا لألشياء: أي شيء هو األو ل أي شيء هو الث اني وهكذا. الس ؤال هو: كم ترتيب ا داخلي ا ممكن ا نعو ض r n في املعادلة إليجاد عدد العي نات الت رتيبي ة دون إرجاع فنحصل على:... (.n (n هذا العدد يسم ى»مضروب ال n«و يشار إليه ب!n عدد الت رتيبات الد اخلي ة املمكنة ل n أشياء هو!n 48

11 كر اس إرشاد إمتحان الد خول الس يكومتري للجامعات مثال جد ة والدة وبنت معني ات بالوقوف في سطر بهدف الت قاط صورة. بكم طريقة مختلفة يستطعن عمل ذلك ميكن الن ظر إلى الواقفة على اليمني بأن ها األولى الوسطى - الث انية وال تي تقف على اليسار - الث الثة وعندئذ فالس ؤال هو كم ترتيب ا داخلي ا للجد ة األم والبنت ممكن ا اجلد ة األم والبنت يشك لن مجموعة مؤل فة من أشياء ولذلك فإن عدد الت رتيبات الد اخلي ة هو 6.! لنذكر الت رتيبات املمكنة بالت فصيل: جد ة - أم - بنت جد ة - بنت - أم أم - جد ة - بنت أم - بنت - جد ة بنت - جد ة - أم بنت - أم - جد ة. عي نات غير ترتيبي ة طريقة إخراج األشياء: شيء ي خرج ال ي عاد إلى املجموعة بعد أن أ خرج وال توجد أهمية للت رتيب ال ذي أ خرجت فيه األشياء. عندما ال توجد أهمي ة للت رتيب فكل العي نات ال تي حتتوي على r من األشياء )فقط ترتيب اختيارها مختلف بكل عي نة( ت عتبر نفس الن تيجة. في الواقع عدد هذه العي نات هو عدد الت رتيبات الد اخلي ة لل r أشياء أي!r. حلساب عدد الن تائج املمكنة في عي نات غير ترتيبي ة ي حسب عدد الن تائج املمكنة كما لو أن ثم ة أهمي ة للت رتيب وي قسم على عدد الت رتيبات الد اخلي ة ل r من األشياء. n$ ( n ) $... $ ( n r+ ) عدد العي نات الت رتيبية دون إرجاع r! عدد الت رتيبات الد اخلي ة في العي نة عدد العي نات غير الت رتيبي ة مثال توجد في علبة 9 كرات مرق مة من إلى 9. ن خرج من العلبة عشوائي ا كرات واحدة تلو األخرى دون إرجاع كرة أ خرجت ثم نضع الكرات ال تي أ خرجت داخل قب عة. ما هو عدد اإلمكاني ات املختلفة لتركيبة الكرات في القب عة في هذا الس ؤال املهم هو تركيبة الكرات في القب عة وليس الت رتيب ال ذي أ خرجت فيه من العلبة. مثال إذا كانت الكرات قد أ خرجت بترتيب 5 و 4 فتركيبة الكرات في القب عة هو 4 و 5 وهذه ستكون تركيبة الكرات في القب عة إذا أ خرجت أيض ا بترتيب 5 4 و أو بأي من! الت رتيبات املمكنة: و 5-4- )في الواقع ال توجد أهمي ة إلخراج الكرات واحدة تلو األخرى وميكن إخراجها دفعة واحدة دون أن يؤث ر ذلك على الن تيجة(. 9$ 8$ 7 أي توجد 84 إمكاني ة مختلفة لتركيبة الكرات في القب عة.! لذلك عدد الت ركيبات املمكنة هو االحتماالت نظري ة االحتماالت هي منوذج رياضي لظواهر إمكاني ة حدوثها غير مؤك دة او لتجارب نتائجها غير مؤك دة. كل نتيجة ممكن حدوثها في الت جربة ت سم ى»حدث ا بسيط ا«ومجموعة من الن تائج ت سم ى»حدث ا«. لالختصار فيما يلي سنستعمل املصطلح»حدث«لإلشارة أيض ا إلى»حدث بسيط«. ي نسب لكل حدث عدد بني 0 وال ذي يعكس احتمال )مدى إمكاني ة( وقوع احلدث. كل ما كان االحتمال أكبر تزداد إمكاني ة وقوع نفس احلدث. عندما تكون إمكاني ة وقوع احلدث مؤكد ة فإن احتمال وقوعه هو وعندما ال ميكن وقوع احلدث بتات ا فإن احتمال وقوعه هو 0. مجموع احتماالت كل األحداث البسيطة في الت جربة هو. عندما يكون لكل واحدة من n الن تائج املمكنة لتجربة معي نة نفس احتمال الوقوع فإن األمر يعني أن الن تائج متساوية. n االحتماالت. في هذه احلالة احتمال كل نتيجة هو 49

12 تفكير كم ي مثال الت جربة: رمي قطعة نقود. الن تائج املمكنة: وجها العملة. نسج ل عليهما: أو 0 )أو: نقش أو عدد( إذا كانت قطعة الن قود نزيهة فإن الن تيجتني متساويتني من ناحية االحتمال: االحتمال أن نحصل على»«مساو. لالحتمال أن نحصل على»0«ولذلك فإن احتمال كل نتيجة ممكنة هو مثال الت جربة: رمي مكع ب نزيه )حجر الن رد(. الن تائج املمكنة: األعداد 5 4 و 6 املسج لة على أوجه املكع ب.. 6 إذا كان الن رد نزيه ا فإن احتمال كل واحدة من الن تائج املمكنة هو عندما تكون جميع الن تائج املمكنة متساوية االحتمال احتمال وقوع حدث هو: عدد الن تائج في هذا احلدث )املعني ) مجموع كل الن تائج املمكنة في الت جربة مثال الت جربة: رمي مكع ب نزيه. احلدث: الن تيجة أقل من 4. الن تائج املمكنة في هذا احلدث: األعداد و.. 6 احتمال وقوع احلدث: مثال الت جربة: إخراج كرة من جر ة حتتوي على 5 كرات بيضاء و 5 كرات سوداء. احلدث: إخراج كرة سوداء. 5 عدد الكرات الس وداء. 0 احتمال وقوع احلدث: مجموع كل الكرات في اجلر ة احتمال وقوع حدثني عند وقوع حدثني في الوقت ذاته أو الواحد تلو اآلخ ر ميكن وجود وضعني: أ. احلدثان غير م تعل قني ببعضهما أي أن احتمال وقوع احل دث األو ل غير متأث ر باحتمال وقوع احل دث الث اني. ب. احلدثان متعل قان ببعضهما أي أن احتمال وقوع احل دث األو ل متأث ر باحتمال وقوع احل دث الث اني. أو بكلمات أخرى احتمال وقوع حدث معني بعد )أو بشرط( وقوع حدث آخر يختلف عن احتمال وقوع احلدث املعني )بدون الش رط(. 50

13 كر اس إرشاد إمتحان الد خول الس يكومتري للجامعات مثال يوجد في جر ة 0 أقالم: 5 بيض و 5 سود. ن خرج قلمني من اجلر ة الواحد تلو اآلخر. معلوم أن القلم األو ل ال ذي أ خرج هو أسود. ما هو احتمال أن يكون القلم الث اني ال ذي أ خرج أيض ا أسود هنالك وضعان- وضع أ: ن رجع القلم األول إلى اجلر ة. مبا أن نا أرجعنا القلم إلى اجلر ة لم يحدث تغيير في عدد األقالم في اجلر ة وخاص ة لم يحدث تغيير في عدد األقالم الس ود. 5 وهو مساو الحتمال إخراج قلم أول أسود. 0 احتمال إخراج قلم ثان أسود هو من هنا فال توجد أهمي ة لكون القلم أ خرج ثاني ا. أي أن احلدث»إخراج قلم أول أسود«واحلدث»إخراج قلم ثان أسود«هما حدثان غير متعل قني ببعضهما. وضع ب: ال ن رجع القلم األول إلى اجلر ة. بعد أن أخرجنا من اجلر ة قلم ا أسود بقي في اجلر ة 9 أقالم بامل جمل منها 4 أقالم سود.. 9 لذلك احتمال إخراج قلم ثان أسود هو 4 أي أن احلدث»إخراج قلم أول أسود«واحلدث»إخراج قلم ثان أسود«هما حدثان متعل قان ببعضهما. احتمال وقوع حدثني غير متعل قني )في الوقت ذاته أو الواحد بعد اآلخر( هو حاصل ضرب االحتماالت لكل واحد من األحداث على حدة. مثال الت جربة: رمي مكعبني نزيهني - واحد أحمر واآلخر أصفر.. 6 نشير للحدث»احلصول على عدد أصغر من في املكع ب األحمر«ب. احتمال وقوع احلدث هو. 6 نشير للحدث»احلصول على عدد زوجي في املكع ب األصفر«ب. احتمال وقوع احلدث هو ألن نتيجة رمي مكع ب واحد ال تؤث ر على احتمال الن تيجة ال تي حتصل من رمي املكع ب اآلخر فإن احلدث واحلدث هما حدثان غير متعل قني ببعضهما. احتمال وقوع احلدث واحلدث في الوقت ذاته هو نعر ف حدثني متعل قني ببعضهما و )في جتربة ما(, احتمال احتمال احلدث احلدث. $ 6 أي احتمال وقوع احلدث بشرط أن احلدث قد وقع هو : عدد الن تائج املشتركة ل ول عدد نتائج 5

14 تفكير كم ي مثال الت جربة: رمي مكع ب )نرد(. ما هو احتمال احلصول على نتيجة أصغر من 4 إذا علمنا أننا حصلنا على نتيجة زوجي ة نشير إلى احلدث»حصول على نتيجة زوجي ة«ب واحلدث»حصول على نتيجة أصغر من» 4 ب. نصوغ الس ؤال من جديد بواسطة احلدثني: ما هو احتمال وقوع إذا علمنا )بشرط( أن قد وقع توجد نتائج في احلدث :, 4 و 6. توجد نتائج في احلدث :, و. لكن إذا علمنا أن احلدث قد وقع فهنالك نتيجة واحدة ممكنة ل :. وبكلمات أخرى الن تيجة»«هي الن تيجة الوحيدة املشتركة ل و.. لذلك فاحتمال إذا علمنا أن قد وقع هو:. هذا االحتمال يختلف عن احتمال )بدون شرط( ويساوي املسافة الس رعة الز من سرعة جسم هي املسافة التي يقطعها هذا اجلسم في وحدة زمن..v s املعادلة ال تي تربط بني الس رعة املسافة التي قطعها اجلسم والز من الذي إحتاجه لقطع املسافة هي: t بحيث أن : v الس رعة s املسافة t الز من.s v t t من هذه املعادلة ميكن اشتقاق جميع العالقات املمكنة بني املسافة الس رعة والز من: v s مثال قطع قطار 40 كم بسرعة 80 كم/ساعة. كم من الوقت استغرقت الس فرة م عطى (80 v كم/ساعة( و (40 s كم( ويجب حساب t. ألن الس رعة معطاة بالكيلومترات للس اعة فإن زمن الس فرة ي حسب بالس اعات..t : t نعو ض امل عطيات في املعادلة v s أي أن الس فرة استغرقت ساعات. وحدات القياس الثنتني من القيم حت د د وحدة القياس للقيمة الث الثة. مثال : إذا كانت املسافة مذكورة بالكيلومترات )كم( والز من- بالس اعات ت ذكر الس رعة بالكيلومتر للس اعة )كم/ساعة(. إذا كانت املسافة مذكورة باألمتار والز من- بالث واني ت ذكر الس رعة باملتر للث انية. ميكن حتويل األمتار إلى كيلومترات والث واني- إلى ساعات وبالعكس., 000 في الكيلومتر الواحد يوجد,000 متر ) متر كم(., 600 في الس اعة الواحدة يوجد,600 ثانية وهي عبارة عن 60 دقيقة ) ثانية, 000. b, متر بالث انية 8 5 l 8 سرعة كيلومتر في الس اعة تساوي سرعة ساعة(.., 000, 600, 600, 000 سرعة متر بالث انية تساوي سرعة.6 كم/الس اعة. 6 5

15 كر اس إرشاد إمتحان الد خول الس يكومتري للجامعات القدرة العمل الز من القدرة هي كم ي ة العمل في وحدة زمن..p w املعادلة ال تي تربط بني القدرة كم ي ة العمل والز من املطلوب لتنفيذ العمل هي: t بحيث أن : p القدرة w كم ي ة العمل t الز من.w p t t من هذه املعادلة ميكن اشتقاق جميع العالقات املمكنة بني القدرة كم ي ة العمل والز من: w p مثال ينهي بن اء بناء جدار في ساعات. كم ساعة يلزم لبن اء ين يعمالن بنفس هذا االيقاع من أجل إنهاء بناء 5 جدران جدار في في الس ؤال م عطاة كم ي ة العمل لبن اء واحد )جدار واحد( وزمن عمله ) ساعات(. من هنا فان قدرته هي الس اعة. $ جدار بالس اعة. ألن الس ؤال هو عن بن اء ين فإن قدرتهما مع ا هي م عطاة أيض ا كم ي ة العمل املطلوبة من البن اء ين وهي 5 جدران لذلك ميكن حساب الز من الالزم لهما: 7 ساعات. 5 $ 5.t هذا يعني يلزمهم 5 7 مستقيمات متوازية )خطوط متوازية( b c d مستقيمات متوازية التي تقطع مستقيمني أي ا كانا تقسم املستقيمني إلى قطع متناسبة بطولها.. c + b c + d b وأيض ا d c c مثال في الر سم b d ميكن إيجاد تناسبات إضافي ة بني القطع بناء على الت ناسبات امل عطاه. زوايا زاوية قائمة هي زاوية تساوي 90, في الر سومات ي شار إليها ب. زاوية حادة هي زاوية أصغر من 90. زاوية منفرجة هي زاوية أكبر من 90. زاوية مستقيمة هي زاوية تساوي 80. 5

16 تفكير كم ي y x زوايا م تجاورة الز اويتان الن اجتتان بني مستقيم وشعاع خارج من نقطة على املستقيم تسم يان زاويتني م تجاورتني. هاتان الز اويتان تكو نان مع ا زاوية مستقيمة لذلك فمجموعهما هو 80. مثال في الر سم x و y هما زاويتان م تجاورتان ولذلك 80 y x. + x y w z زوايا متقابلة بالر أس عند تقاطع خط ني مستقيمني تنتج أربع زوايا. كل زاويتني ليستا م تجاورتني تسم يان زاويتني متقابلتني بالر أس وتكونان متساويتني. مثال في الر سم x و z هما زاويتان متقابلتان بالر أس وكذلك ايضا y و w. لذلك x z وأيض ا.w y عندما يقطع خط مستقيم مستقيمني متوازيني تنتج ثماني زوايا. مثال كما في الر سم g f e d c b و.h b c d e f g h زوايا متناظرة هي زوايا موجودة على نفس جهة املستقيم القاطع وعلى نفس جهة املستقيمني املتوازيني. الز وايا املتناظرة متساوية. لذلك في الر سم c g,b f, e و.d h زوايا متبادلة هي زوايا موجودة في اجلهات املتعاكسة للمستقيم القاطع وفي اجلهات املتعاكسة للمستقيمني املتوازيني. الز وايا املتبادلة متساوية. لذلك في الر سم c f,b g, h و.d e p q b c d e f g h مثال معطى: املستقيمان p و q متوازيان. d + f?.d + c هما زاويتان متجاورتان ولذلك 80 d و c c. f هما زاويتان متبادلتان ولذلك f و c لذلك 80 c d + f d + واإلجابة هي.80 مثل ثات α δ β γ زوايا امل ثل ث مجموع الز وايا الد اخلي ة في كل م ثل ث هو 80. مثال في الر سم 80 γ α. + β + الز اوية امل جاورة إلحدى زوايا امل ثل ث ت سم ى زاوية خارجي ة وهي تساوي مجموع الز اويتني األخريني في امل ثل ث. مثال في الر سم d هي زاوية مجاورة ل β ولذلك δ. + g في كل م ثل ث الض لع املقابلة لزاوية أكبر هي ضلع أطول. مثال في الر سم إذا g < < b إذن الض لع )املوجودة مقابل الز اوية β( أطول من الض لع )املوجودة مقابل الز اوية α( والض لع أطول من الض لع )املوجودة مقابل الز اوية γ(. 54

17 كر اس إرشاد إمتحان الد خول الس يكومتري للجامعات D h متوس ط في امل ثل ث هو القطعة ال تي تصل بني رأس في املثل ث ونقطة منتصف الض لع املقابلة لنفس الر أس. مثال في الر سم, D هو متوس ط للض لع.(D D) االرتفاع في املثل ث االرتفاع الن ازل على ضلع في م ثل ث هو القطعة ال تي تخرج من رأس في امل ثل ث الى الض لع املقابلة لنفس الر أس )او امتدادها( وهي تعامد هذه الض لع. مثال في امل ثل ثات ال تي تظهر في الر سم h هو االرتفاع على الض لع. h مساحة امل ثل ث مساحة امل ثل ث تساوي حاصل ضرب طول إحدى األضالع في االرتفاع الن ازل عليها مقسوم ا على.. h مثال في الر سم مساحة كل واحد من امل ثل ثني هي: $ تباين امل ثل ث في كل م ثل ث يكون مجموع طول ي كل ضلعني فيه أكبر من طول الض لع الث الثة. مثال في امل ثل ثات ال تي في الر سومات.( + ) > E β τ δ D α ε γ F م ثل ثات متطابقة شكالن هندسي ان هما شكالن متطابقان إذا أمكن وضع واحد منهما على اآلخر بشكل يجعلهما يتكت الن سوي ة. مثال لتطابق أشكال هندسي ة هو تطاب ق م ثل ثات. إذا كان امل ثل ثان متطابقني فهذا يعني أن أضالعهما وزواياهما متساوية بالت تالي. مثال في الر سم إذا كان امل ثل ث مطابق للم ثل ث DEF اذا اضالعهما متساوية بالت تالي: b τ d وكذلك زواياهما متساوية بالت تالي: DF و EF DE و.g e كل واحد من القوانني األربعة الت الية مت ك ننا من االستنتاج أن امل ثل ثني متطابقان: )أ( يتطابق مثل ثان إذا حتق ق أن ضلعني من أضالع امل ثل ث األو ل متساويتان بالت تالي مع ضلعني من أضالع امل ثل ث اآلخ ر والز اوية التي بني هاتني الض لعني في امل ثل ث األو ل مساوية للز اوية املناظرة في امل ثل ث اآلخ ر )ض ز ض(. مثال في الر سم إذا DF DE و d اذا املثلثان متطابقان. )ب( يتطابق مثل ثان إذا حتق ق أن زاويتني من زوايا امل ثل ث األو ل متساويتان بالت تالي مع زاويتني من زوايا امل ثل ث اآلخ ر والض لع ال تي بني هاتني الز اويتني في املثل ث األو ل مساوية للض لع املناظرة في امل ثل ث اآلخ ر )ز ض ز(. مثال في الر سم إذا b τ δ و DE اذا املثل ثان متطابقان. )ج( يتطابق مثل ثان إذا حتق ق أن أطوال األضالع الث الث في امل ثل ث األو ل مساوية ألطوال األضالع الث الث في امل ثل ث اآلخ ر )ض ض ض(. )د( يتطابق مثل ثان إذا حتق ق أن طولي ضلعني من أضالع امل ثل ث األو ل متساويني بالت تالي مع طولي ضلعني من أضالع امل ثل ث اآلخ ر والز اوية املقابلة للض لع األكبر من بني اإلثنتني في امل ثل ث األو ل مساوية للز اوية املناظرة في امل ثل ث اآلخ ر )ض ض ز(. مثال في الر سم إذا > و DE > DF ويتحق ق أن DF DE و g e اذا املثل ثان متطابقان. 55

18 تفكير كم ي م ثل ثات متشابهة مثل ثان هما مثل ثان متشابهان إذا كانت الز وايا الث الث في امل ثل ث األو ل م ساوية للز وايا الث الث في امل ثل ث الث اني. في امل ثل ثات املتشابهة الت ناسب بني كل ضلعني في امل ثل ث األول مساو للت ناسب بني الضلعني E 40 D F املالئمتني في امل ثل ث الث اني. مثال في الر سم امل ثل ثان و DEF متشابهان لذلك. DE. DE DF DF EF ينتج من ذلك أيض ا : مثل ثات متطابقة هي حتما مثل ثات متشابهة. أنواع م ثل ثات م ثل ث متساوي األضالع هو م ثل ث تكون أطوال جميع أضالعه متساوية. مثال في الر سم. في م ثل ث كهذا أيض ا جميع الز وايا متساوية بكبرها (60 ).. $ $ ومساحته تساوي 4 إذا كان طول ضلع م ثل ث كهذا هو فإن ارتفاعه β γ م ثل ث متساوي الس اقني هو م ثل ث يكون ضلعان من أضالعه متساويتني في الط ول. مثال في الر سم. الض لع الث الثة في امل ثل ث املتساوي الس اقني ت سمى»قاعدة«. الز اويتان املقابلتان للض لعني املتساويتني متساويتان أيض ا. مثال في الر سم β. γ م ثل ث حاد الز اوية هو م ثل ث تكون جميع زواياه حاد ة. م ثل ث منفرج الز اوية هو م ثل ث تكون إحدى زواياه منفرجة. م ثل ث قائم الز اوية هو م ثل ث تكون إحدى زواياه قائمة (90 ). الض لع املقابلة للز اوية القائمة ت سم ى وتر )في الر سم: الضلع ) والض لعان األخريان ت سم يان قائمني )في الر سم: و.) حسب نظري ة فيثاغورس: في مثل ث قائم الز اوية يكون تربيع الوتر مساوي ا ملجموع تربيع ي القائمني. مثال في الر سم. + مبساعدة هذه املعادلة ميكن إيجاد طول كل ضلع إذا كان م عطى طوال الض لعني األخريني. وتر قاي م قاي م 0 في مثل ث قائم الز اوية قي م زواياه 0 60 و 90 يكون طول الض لع القائمة املقابلة للز اوية ال تي قيمتها 0 يساوي نصف طول الوتر. مثال في الر سم طول الوتر هو ولذلك طول الض لع القائمة املقابلة للز اوية ال تي قيمتها 0 هو. وحسب نظري ة فيثاغورس ينتج أيض ا أن طول الض لع القائمة املقابلة للز اوية ال تي قيمتها 60 هو في مثل ث قائم الز اوية ومتساوي الس اقني قيم زواياه و 90 طوال القائمني متساويان وطول الوتر يساوي مر ة طول كل من القائمني )حسب نظري ة فيثاغورس(. مثال في الر سم طول كل واحد من القائمني هو ولذلك طول الوتر هو. 56

19 كر اس إرشاد إمتحان الد خول الس يكومتري للجامعات أشكال رباعي ة الش كل الر باعي هو كل مضل ع ذو 4 أضالع. مثال : املستطيل واملرب ع املستطيل هو شكل رباعي كل زواياه قائمة. في املستطيل كل ضلعني متقابلتني متساويتان في الطول. b D محيط املستطيل ال ذي في الر سم هو (+b). + b +b طول القطر في املستطيل ال ذي في الر سم هو + b )حسب نظري ة فيثاغورس(. b مساحة املستطيل تساوي حاصل ضرب أطوال ضلعني متجاورتني. مساحة املستطيل ال ذي في الر سم هو. b املرب ع هو مستطيل جميع أضالعه متساوية. D محيط املرب ع ال ذي في الر سم هو 4. طول قطر املرب ع ال ذي في الر سم هو. + مساحة املرب ع تساوي تربيع طول الض لع. مساحة املرب ع ال ذي في الر سم هو. متوازي األضالع واملعني متوازي األضالع هو شكل رباعي فيه كل ضلعني متقابلتني متوازيتان ومتساويتان. مثال في متوازي األضالع في الر سم D D D D b h b D القطران في متوازي األضالع ينص فان بعضهما البعض. محيط متوازي األضالع ال ذي في الر سم هو. + b االرتفاع في متوازي األضالع هو قطعة تصل بني ضلعني متقابلتني )او امتدادهما( وهي عمودي ة عليهما. مساحة متوازي األضالع تساوي حاصل ضرب الض لع في االرتفاع الن ازل عليها. مثال في متوازي األضالع الظ اهر في الر سم املساحة هي. h 57

20 تفكير كم ي املعني هو شكل رباعي كل األضالع األربع فيه متساوية. في املعني كل ضلعني متقابلتني متوازيتان لذلك ميكن إعتباره متوازي أضالع كل اضالعه متساوية. h D القطران في املعني مبا أن املعني عبارة عن نوع من متوازيات األضالع ففيه أيض ا ينص ف القطران بعضهما البعض. في املعني القطران يتعامدان أيض ا. محيط املعني الظ اهر في الر سم هو 4. مساحة املعني مبا أن املعني عبارة عن نوع من متوازيات األضالع فإن مساحته أيض ا تساوي حاصل ضرب الض لع في االرتفاع الن ازل عليها. مثال مساحة املعني في الر سم هي. h كذلك ميكن حساب مساحة املعني كحاصل ضرب قطريه ببعضهما مقسوم ا على.. D مثال مساحة املعني في الر سم هي $ شبه املنحرف h D شبه املنحرف هو شكل رباعي فيه فقط ضلعان متوازيتان. الض لعان املتوازيتان ت سم يان قاعدتني. الض لعان األخريان ت سم يان ساق ني. قاعدتا شبه املنحرف ليستا متساويتني لذلك ت سم يان»القاعدة الكبرى«و»القاعدة الص غرى«. b االرتفاع في شبه املنحرف هو قطعة تصل بني قاعدت ي شبه املنحرف وت عامدهما. مساحة شبه املنحرف تساوي نصف حاصل ضرب مجموع القاعدتني في االرتفاع.. ] + b g $ h مثال مساحة شبه املنحرف في الر سم هي شبه املنحرف متساوي الس اقني هو شبه منحرف تكون فيه الس اقان متساويتني. مثال في الر سم:. D في شبه منحرف متساوي الس اقني زاويت ا القاعدة الكبرى متساويتان وزاويت ا القاعدة الص غرى متساويتان. مثال في الر سم.««D b, «D «D في شبه منحرف متساوي الس اقني عند إنزال إرتفاعني من طرف ي القاعدة الص غرى إلى القاعدة الكبرى نحصل على مستطيل وعلى م ثل ثني قائم ي الز اوية متطابقني P) و.(DQ α D α β β P Q D شبه املنحرف قائم الز اوية هو شبه منحرف إحدى زوايا القاعدة الكبرى فيه قائمة )وبالطبع أيض ا إحدى زوايا القاعدة الص غرى(. 58

21 كر اس إرشاد إمتحان الد خول الس يكومتري للجامعات الد التون b P b D الد التون هو شكل رباعي مبني من م ثل ثني متساويي الس اقني لهما قاعدة مشتركة. مثال في الر سم الد التون D مكو ن من امل ثل ثني D و D.( D D) القطر ال ذي يصل بني رأس ي امل ثل ثني متساوي ي الس اقني ي نص ف القطر الذ ي ي شك ل قاعدة للم ثل ثني متساوي ي الس اقني ويعامده. مثال في الر سم ي نص ف (P PD) D وأيض ا يعامده. D محيط الد التون الظ اهر في الر سم هو. + b مساحة الد التون مساوية حلاصل ضرب طول القطرين مقسوم ا على.. D مثال مساحة الد التون ال ذي في الر سم هي $ مض لع منتظم مض لع منتظ م هو مض لع تكون جميع أضالعه متساوية وجميع زواياه الد اخلي ة متساوية. أمثلة مثم ن منتظ م هو مضل ع منتظ م ذو 8 أضالع. مخم س منتظ م هو مضل ع منتظ م ذو 5 أضالع. م رب ع هو مضل ع منتظ م ذو 4 أضالع. مثل ث متساوي األضالع هو مضل ع منتظم ذو أضالع. ميكن حساب قيمة الز اوية الد اخلي ة في مض لع منتظم له n أضالع بواسطة القانون:. α 80c 60c 80c n n 60c b l b n l α مثال في مسد س منتظم كالظ اهر في الر سم قيمة كل زاوية من زواياه الد اخلية هي 0 :. α 80c 60c 6 0c الد ائرة نصف القطر هو قطعة تصل بني مركز الد ائرة ونقطة أي ا كانت على محيطها. وتر في الد ائرة هو قطعة متر داخل الد ائرة وتوصل بني نقطتني مختلفتني على محيطها. قطر هو وتر في الد ائرة مير عبر مركزها. طول القطر في دائرة يساوي مر تني طول نصف القطر. إذا أشرنا إلى نصف القطر ب r عندها يكون القطر r. محيط دائرة نصف قطرها r هو πr )قيمة π هي.4 تقريب ا(. مساحة دائرة نصف قطرها r هي.πr اجلزء من محيط الد ائرة احملصور بني نقطتني يسم ى قوس ا. اجلزء من مساحة الد ائرة احملصور بني نصفي قطر وقوس يسم ى قطاع. 59 β α ز اوية محيطي ة زاوية محيطي ة هي زاوية يكون رأسها على محيط الد ائرة وساقاها و ت ر ين فيها. الز وايا احمليطي ة املبني ة على نفس القوس متساوية القيمة. مثال في الر سم الز اويتان و b هما زاويتان محيطي تان مبني تان على القوس لذلك. b الز اوية احمليطي ة املبني ة على القطر )أي على قوس طولها نصف محيط الد ائرة( هي زاوية قائمة.

22 تفكير كم ي β α زاوية مركزي ة زاوية مركزي ة هي زاوية يكون رأسها في مركز الد ائرة وساقاها هما نصفا قطر في الد ائرة. زاوية مركزي ة تساوي ضعف كل زاوية محيطي ة مبني ة على نفس القوس. مثال في الر سم هي زاوية مركزي ة و b هي زاوية محيطي ة والز اويتان مبني تان على نفس القوس لذلك. b α β طول القوس نقطتان على محيط دائرة حتد دان قوسني. مثال في الر سم الن قطتان و حتد دان قوسني: األولى تالئم الز اوية املركزي ة والث انية- تالئم الز اوية املركزي ة b. القوس القصيرة هي ال تي تالئم الز اوية الص غرى من بني الز اويتني-. πr )بحيث أن r نصف قطر الد ائرة(. $ α 60 طول هذه القوس هو r xº r مساحة القطاع الز اوية املركزي ة الن اجتة بني نصف ي القطرين الذين يحددان قطاع ت س م ى أيض ا زاوية رأس. مثال اجل زء الغامق في الر سم هو قطاع دائرة زاوية الر أس فيه x.. π r $ x 60 مساحة قطاع الد ائرة هي r مماس في الد ائرة مماس الد ائرة هو مستقيم ميس محيط الد ائرة في نقطة واحدة فقط وت سم ى»نقطة الت ماس «. الز اوية الن اجتة بني املماس وبني نصف القطر )في نقطة الت ماس ) هي زاوية قائمة. مثال في الر سم املستقيم هو مماس الد ائرة ال تي نصف قطرها r. مستقيمان مماس ان لنفس الد ائرة ويتقاطعان في نقطة واحدة ي سم يان أيض ا مماس ان لد ائرة يخرجان من نقطة واحدة. طول كل واحد من املماس ني هو طول القطعة ال تي تصل بني نقطة تقاطع املماس ني وبني نقطة متاس كل واحد منهما مع الد ائرة. مماس ان لد ائرة الل ذان يخرجان من نقطة واحدة متساويان في الط ول. مثال في الر سم هي نقطة الت قاطع و هما نقطتا الت ماس ولذلك. م ضل ع حاصر دائرة مضل ع حاصر دائرة هو مضل ع كل واحدة من أضالعه هي مماسة للد ائرة. م ضل ع محصور في دائرة مضل ع محصور في دائرة هو مضل ع تقع جميع رؤوسه على محيط الد ائرة. م ثل ث محصور في دائرة كل مثل ث ميكن حصره في دائرة. لكل م ثل ث توجد دائرة واحدة فقط حتصره. إذا كان امل ثل ث احملصور قائم الز اوية فإن مركز الد ائرة ال تي حتصره يكون منتصف وتر امل ثل ث. شكل رباعي محصور في دائرة ال ميكن حصر كل شكل رباعي في دائرة. في الش كل الر باعي احملصور داخل دائرة يتحق ق دائم ا أن مجموع كل زاويتني متقابلتني يساوي.80 مثال في الش كل الر باعي ال ذي في الر سم 80 γ α + β + δ 80 60

23 كر اس إرشاد إمتحان الد خول الس يكومتري للجامعات d c b شكل رباعي حاصر دائرة ليس كل شكل رباعي ميكنه أن يحصر دائرة. في شكل رباعي حاصر دائرة مجموع كل ضلعني متقابلتني متساو. مثال في الش كل الر باعي ال ذي في الر سم. + c b + d في احلالة ال تي يحصر فيها مرب ع دائرة يكون طول ضلع املرب ع مساوي ا لقطر الد ائرة. أشكال ثالثي ة األبعاد )أجسام( c b صندوق ومكع ب صندوق هو جسم ثالثي األبعاد ذو ست ة أوجه مستطيلة. ثالثة أبعاد الص ندوق هي الط ول العرض واالرتفاع )في الر سم b, و c بالت تالي(. كل وجه من أوجه الص ندوق معامد لألوجه املجاورة له. مساحة أوجه الص ندوق هي مجموع مساحات أوجهه. مساحة أوجه الص ندوق في الر سم هي:.b + c + bc + b + c + bc b + c + bc حجم صندوق هو حاصل ضرب الط ول في العرض في االرتفاع. حجم الص ندوق املبني في الر سم هو. b c d d d مكع ب هو صندوق فيه األبعاد الث الثة )الط ول العرض واالرتفاع( متساوية. في املكع ب جميع األوجه هي مربعات متطابقة. مساحة كل وجه في املكع ب في الر سم هو d لذلك فإن مساحة أوجه امل كع ب هي 6d. حجم املكع ب ال ذي في الر سم. d أسطوانة h األسطوانة هي جسم ثالثي األبعاد مكو ن من قاعدتني دائري تني متطابقتني موجودتني في مستويني متوازيني ومن غالف يصل بينهما. اخلط ال ذي يصل بني مركزي القاعدتني هو معامد لكل واحدة من القاعدتني. r مساحة الغالف ألسطوانة نصف قطر قاعدتها r وارتفاعها h هي حاصل ضرب محيط القاعدة في االرتفاع أي. πr h مساحة أوجه االسطوانة هي مجموع مساحات القاعدتني والغالف. مساحة كل قاعدة هي πr ومساحة الغالف πr h لذلك مساحة األوجه هي. πr h + πr πr (h + r) حجم األسطوانة هو حاصل ضرب مساحة إحدى القاعدتني في االرتفاع أي.πr h مخروط h مخروط قائم الز اوية هو جسم ثالثي األبعاد ناجت عن وصل الن قاط على محيط دائرة مع نقطة واقعة خارج مستوى هذه الد ائرة. الن قطة تسمى»رأس املخروط«وهي واقعة على املستقيم املعامد ملستوى الد ائرة ومير عبر مركزها )أنظر الر سم(. r. π r $ h حجم مخروط نصف قطر قاعدته r وارتفاعه h هو 6

24 تفكير كم ي منشور منشور قائم الز اوية هو جسم ثالثي األبعاد قاعدتاه مضل عان متطابقان موجودان في مستويني متوازيني وأوجهه اجلانبي ة هي مستطيالت. كل منشور ي سم ى حسب عدد أضالع قاعدته: منشور ثالثي قاعدتاه مثل ثان منشور رباعي قاعدتاه مرب عان وإلخ )أنظر الر سومات(. إرتفاع املنشور هو طول القطعة التي تصل بني القاعدتني وتعام دهما. هذا هو الب عد بني قاعدت ي املنشور. مساحة غالف املنشور هي مجموع مساحة كل األوجه اجلانبي ة. ميكن حساب مساحة الغالف أيضا كحاصل ضرب محيط قاعدة املنشور في ارتفاعه. مساحة أوجه املنشور هي مجموع مساحة الغالف ومساحت ي القاعدتني في املنشور. حجم املنشور يساوي حاصل ضرب مساحة إحدى القاعدتني في االرتفاع. هرم هرم مستقيم هو جسم ثالثي األبعاد ال ذي ينتج من وص ل رؤوس م ضل ع منتظم ما مع نقطة موجودة خارج مستوى امل ضل ع. امل ضل ع ي سم ى»قاعدة الهرم«والنقطة ت سم ى»رأس الهرم«. األوجه اجلانبي ة للهرم هي مثل ثات. كل هرم ي سم ى حسب عدد أضالع قاعدته: هرم ثالثي قاعدته مثل ث هرم رباعي قاعدته مرب ع وإلخ )أنظر الر سومات(. h إرتفاع الهرم هو طول القطعة الن ازلة من رأس الهرم واملعامدة ملستوى قاعدته. هذا هو ب عد رأس الهرم عن قاعدته )أنظر الر سم(.. S $ h إذا S هي مساحة قاعدة الهرم و h هو ارتفاع الهرم فإن حجم الهرم هو ضلع ضلع في جسم ثالثي األبعاد هو املستقيم الن اجت من التقاء وجهني. في الهرم الظ اهر في الر سم القطعة امل شار إليها بخط مشد د هي احدى األضالع. في الص ندوق ضلع ا. محور األعداد يستعمل محور األعداد لعرض هندسي للعالقات بني األعداد األعداد على محور األعداد تكبر كل ما اجت هنا إلى اليمني. الب عد بني الن قاط على محور األعداد يتناسب مع الفرق بني القي م العددي ة املناسبة للن قاط. مثال الب عد بني الن قاط املناسبة للقي م (4-) و (-) يساوي الب عد بني الن قاط املناسبة للقي م و 5. هيئة احملاور املتعامدة في هيئة احملاور املتعامدة في مستوى يوجد محورا أعداد متعامدان. احملور األفقي ي سم ى محور x واحملور العمودي ي سم ى محور y. في احملور x تكبر األعداد كل ما اجت هنا ميين ا وفي احملور y تكبر األعداد كل ما اجت هنا إلى أعلى. 6

25 كر اس إرشاد إمتحان الد خول الس يكومتري للجامعات II III m y y IV k I x x احملوران يقسمان املستوى إلى أربعة أرباع وعادة يشار إليها بأرقام روماني ة.IV III II I كل نقطة في املستوى تالئم زوج ا مختلف ا من قيم x و y ال تي حتد د موقعها بالن سبة للمحاور. مثال في الر سم قيمة x للن قطة هي 4 وقيمة y لنفس الن قطة هي. قيمة x للن قطة هي (-) وقيمة y لنفس الن قطة هي. من املت بع اإلشارة لقي م الن قطة داخل قوسني - قيمة x موجودة على يسار قيمة y هكذا: (y x)., أحيانا نشير الى قيم الن قطة مبحاذاة احلرف ال ذي ميثل ها مثال.(-, ) (4, ) أحيان ا ت سم ى قي م الن قطة (x,y) بإحداثي ات الن قطة. الن قطة في املستوى املالئمة ل (0 0), هي نقطة التقاء احملاور وتسم ى نقطة األصل. جلميع الن قاط ال تي تقع على مستقيم مواز للمحور x نفس قيمة y وجلميع الن قاط ال تي تقع على مستقيم مواز حملور y نفس قيمة x. مثال في الر سم املستقيم k مواز للمحور y ولذلك لكل الن قاط على املستقيم k توجد نفس القيمة ل x )في الر سم.5 x(. املستقيم m مواز للمحور x ولذلك لكل الن قاط على املستقيم m توجد نفس القيمة ل y )في الر سم.5 y(. y عبر كل نقطتني في املستوى مير مستقيم واحد فقط. جزء املستقيم نفسه املوجود بني الن قطتني يسم ى قطعة x إذا كانت القطعة موازية للمحور y عندها يكون طولها هو الفرق )بالقيمة املطلقة( بني قيم y املالئمة للن قاط. مثال في الر سم القطعة موازية حملور y. قيمة y للن قطة هي 4 وقيمة y للن قطة هي (-). الفرق بني قي م y هو 7 (-) 4 ولذلك طول القطعة هو 7. بنفس الط ريقة نحسب طول قطعة موازية حملور x. 6 4 y E F x إذا كانت القطعة ال توازي أحد احملورين )مثال القطعة EF في الر سم( ميكن حساب طولها بواسطة نظري ة فيثاغورس: نرسم م ثل ث ا قائم الز اوية يكون الوتر فيه هو القطعة وقائماه موازي ني للمحور x وللمحور y. طول القائم املوازي للمحور x يساوي الفرق بني قيمة x للن قطة E وقيمة x للن قطة ( F 4) وطول القائم املوازي للمحور y يساوي الفرق بني قيمة.( ) F للن قطة y وقيمة E للن قطة y بواسطة نظري ة فيثاغورس ميكن حساب طول الوتر:.EF + 8

26 تفكير كم ي 64

27 كر اس إرشاد إمتحان الد خول الس يكومتري للجامعات א ב ג قاموس مصطلحات رياضي ة عبري - عربي אופקי... أفقي אורך... طول אחוז... نسبة مئوي ة אי-זוגי... فردي אי-שוויון... متباينة تباي ن איבר... عنصر حد אין-סוף... ال نهاية אלכסון... قطر אמצע... وسط منتصف אנכי... عمودي באקראי... بشكل عشوائي בהכרח... بالض رورة ביטוי... تعبير בסיס... قاعدة בסיס החזקה... قاعدة القو ة בקירוב... بالت قريب تقريب ا גדול ב-...أكبر ب גדול פי... يساوي مر ات )أضعاف( גובה...إرتفاع גודל... ك ب ر مقدار גורם...عامل גזרה...قطاع גליל...أسطوانة גרף...رسم بياني ד ה ז דלתון... دالتون דמיון... تشابه דרך... مسافة הופכי... مقلوب היקף... محيط הספק... قدرة הסתברות... إحتمال העלאה בחזקה... رفع للقو ة הפרש... فرق فارق הצבה... تعويض זוגי... زوجي זווית... زاوية זווית היקפית... زاوية محيطي ة זווית חדה... زاوية حاد ة זווית חיצונית... زاوية خارجي ة זווית ישרה... زاوية قائمة זווית מרכזית... زاوية مركزي ة זווית פנימית... زاوية داخلي ة זווית קהה... زاوية منفرجة זוויות משלימות... زوايا متكاملة זוויות מתאימות... زوايا متناظرة זוויות מתחלפות... زوايا متبادلة זוויות נגדיות... زوايا متقابلة זוויות קדקודיות... زوايا متقابلة بالر أس 65

28 تفكير كم ي ח ט י כ מ חוסם... يحصر حاصر חופף... يتطابق مطابق متطابق חוצה... ي نص ف م نص ف חוצה-זווית... م نص ف زاوية חותך... يقطع قاطع חזקה... قو ة חיבור... جمع חיובי... موجب חילוק... قسمة חיסור... طرح تنقيص חסום... محصور חרוט... مخروط טבלה... جدول טווח... مدى טענה... إد عاء טרפז... شبه منحرف יחס... نسبة تناسب أو عالقة ישר... مستقيم ישר-זווית... قائم الز اوية יתר... وتر כדור... كرة כלוא... محصور כפולה... م ضاع ف כפל... ضرب כפל מקוצר... ضرب مختصر מאונך... ي عامد عمودي מהירות... سرعة מונה... بس ط מחומש... مخم س מחומש משוכלל... مخم س منتظم מחלק... يقسم قاسم מטבע הוגן... قطعة نقدي ة منص فة أو نزيهة מינימום... حد أدنى نهاية صغرى מינימלי... أدنى حد أصغر ما ميكن מישור... مستوى מיתר... وتر מכנה... مقام מכנה משותף... مقام مشترك מכפלה... حاصل الض رب מלבן... مستطيل ממוצע... معد ل ממוצע חשבוני... معد ل حسابي ממוצע משוקלל... معد ل موزون / كل ي מנה... خارج القسمة מנסרה... منشور מנסרה משולשת... منشور ثالثي מספר... عدد מספר אי-זוגי... عدد فردي מספר דו-ספרתי... عدد ثنائي املنزلة... أو مكو ن من رقمني מספר זוגי... عدد زوجي מספר ראשוני... عدد أو لي מספר שלם... عدد صحيح מספר תלת-ספרתי... عدد ثالثي املنزلة... أو مكو ن من ثالثة أرقام מספרים עוקבים... أعداد متعاقبة מעגל... دائرة מעוין... معني מעטפת... غالف מעלה ( )... درجة ( ) מעריך החזקה... أس מצולע... مضل ع מצולע משוכלל... مضل ع منتظم מצטמצם... يختزل מקביל... ي وازي مواز מקבילית... متوازي األضالع מקסימום... حد أعلى حد أقصى نهاية عظمى מקסימלי... أعلى حد أكبر ما ميكن מקצוע... ضلع מרובע... شكل رباعي 66

29 كر اس إرشاد إمتحان الد خول الس يكومتري للجامعات 67 נ ס מרכז... مركز משוואה... معادلة משולש... مثل ث משולש חד-זווית... مثل ث حاد الز اوية משולש ישר-זווית... مثل ث قائم الز اوية משולש קהה-זווית... مثل ث منفرج الز اوية משולש שווה-צלעות... مثل ث متساوي األضالع משולש שווה-שוקיים... مثل ث متساوي الس اقني משושה... مسد س משושה משוכלל... مسد س منتظم משותף... مشترك משיק... مماس משפט פיתגורס... نظري ة فيثاغورس משתנה... متغي ر מתומן... مثم ن מתומן משוכלל...مثم ن منتظم מתחלק...ينقسم מתחלק ללא שארית... ينقسم بدون باق מתלכד... يتكت ل מתקיים... يتحق ق נובע... ينتج ينبع נוסחה... معادلة قانون נחתך... ي قط ع ينقطع ניצב... ي عامد عمود عمودي ניצב )במשולש ישר זווית(... قائم )في مثل ث قائم الز واية( נפח... حجم נקודה... نقطة נקודת חיתוך... نقطة تقاطع נתון... معطى סדרה... متوالية סיכוי... إحتمال סימן... إشارة عالمة סך הכול... م جمل مجموع סכום... مجموع ספרה... رقم منزلة ע פ צ ק ספרת אחדות... منزلة اآلحاد ספרת עשרות... منزلة العشرات ספרת מאות... منزلة املئات סרטוט... رسم تخطيط עוקב... متتالي متعاقب עיגול... دائرة Fctoril (!) n עצרת (!)... مضروب ال n ערך... قيمة ערך מוחלט... قيمة مطلقة פאה... وجه פירמידה... هرم פעולה... عملي ة פרופורציה... تناسب פתרון... حل צורה... شكل ציר... محور צירוף... تركيب צלע... ضلع קבוע... ثابت קבוצה... مجموعة קדקוד... رأس ק ו... خط קו ישר... خط مستقيم קובייה... مكع ب קובייה הוגנת... مكع ب م ن ص ف أو نزيه )نرد( קוטר... قطر קומבינטוריקה... مجموعة توافقي ة קטום... مقطوم קטע... قطعة קיים... موجود קנה מידה... مقياس رسم

30 تفكير كم ي ר ש ת קרן... شعاع קשת... قوس ראשוני... أو لي רדיוס... نصف قطر רוחב... عرض ריבוע... مرب ع שארית )החלוקה(... باقي )القسمة( שבר... كسر שווה... يساوي متساو שווה-צלעות... متساوي األضالع שווה-שוקיים... متساوي الس اقني שוקיים... ساقان שורש... جذر שורש ריבועי... جذر تربيعي שטח... مساحة שטח מעטפת... مساحة غالف שטח פנים... مساحة أوجه שלילי... سالب שלם )מספר(... صحيح )عدد( תחום... مجال תיבה... صندوق תיכון... متوس ط תרשים... تخطيط رسم بياني 68

31 كر اس إرشاد إمتحان الد خول الس يكومتري للجامعات مسائل رياضي ة ت عالج األسئلة من مجال اجل بر عد ة مواضيع: معادالت مسافة قدرة تركيبات, احتماالت وغير ذلك. ت عالج األسئلة من مجال الهندسة ممي زات األشكال الهندسي ة: مساحة حجم زوايا وغير ذلك. بعض األسئلة كالمي ة يجب فيها أو ال ترجمة املسألة إلى تعابير رياضي ة وأسئلة أخرى غير كالمي ة ت عرض املسألة فيها منذ البداية بتعابير رياضي ة. أمامك مناذج أسئلة وفي ذيل كل سؤال شرح حلل ه. إنتبه: األمثلة في هذا الكر اس مصن فة حسب أنواع ولكن هذا الت قسيم غير موجود في االمتحان. مسائل جبر كالمي ة. سافر سائق من حيفا إلى إيالت خالل فترة زمني ة معي نة. إجتاز الس ائق ثلث املسافة بسرعة 75 كم/ساعة واجتاز خ مس املسافة املتبقي ة خالل ساعة أم ا بقي ة املسافة فاجتازها بسرعة 80 كم/ساعة. املسافة بني حيفا وإيالت هي 450 كم. لو سافر الس ائق بسرعة ثابتة على طول كل املسافة فبأي سرعة كان عليه أن يسافر كي تستغرق الس فرة من حيفا إلى إيالت نفس الفترة الز منية بالض بط () 70 كم/ساعة () 75 كم/ساعة () 80 كم/ساعة (4) 90 كم/ساعة هذا الس ؤال معروض بصورة كالمي ة لذلك عليك أن تترجمه في البداية إلى تعابير رياضي ة. أو ال نحد د بشكل واضح ماذا علينا أن جند: الس رعة ال تي يجب الس فر بها الجتياز املسافة بني حيفا وإيالت بنفس الز من ال ذي احتاجه الس ائق. )s( إذ إن املسافة v s إذن هذا سؤال مسافة وميكن أن نطب ق عليه القانون ال ذي يربط بني املسافة الس رعة والز من: t معطاة والز من )t( ميكن حسابه والس رعة (v) هي املجهول ال ذي يجب إيجاده. معطى في الس ؤال أن املسافة بني إيالت وحيفا هي 450 كم. الز من الكل ي ال ذي احتاجه الس ائق كي يجتاز كل املسافة من حيفا إلى إيالت ميكن حسابه بالط ريقة الت الية: املسافة في الس ؤال مقس مة إلى ثالثة مقاطع. نحسب الز من ال ذي احتاجه الس ائق الجتياز كل مقطع 450 يساوي 50. هذا املقطع من الطريق اجتازه الس ائق بساعتني ألن أ. ثلث الط ريق هو 50 كم ألن $. b50 75 اجتياز مسافة 50 كم بسرعة 75 كم/ساعة يتطل ب ساعتني l 00 $ يساوي.60 5 ب. خ مس الط ريق املتبقي ة هو 60 كم ألن طول الط ريق املتبقي ة هو و م عطى في الس ؤال أن الس ائق اجتاز هذا املقطع من املسافة في ساعة واحدة. ج. بقي ة الط ريق هي 40 كم ألن اجتاز الس ائق هذا املقطع بثالث ساعات الن اجتياز 40 كم بسرعة 80 كم/ساعة يتطل ب ثالث ساعات. في اخلالصة استغرق الس فر من حيفا إلى إيالت ما مجمله 6 ساعات )ساعتني وساعة وثالث ساعات(. اآلن ميكن حساب الس رعة الث ابتة ال تي يجب الس فر بها الجتياز مسافة 450 كم ب 6 ساعات وذلك بواسطة تعويض v. أي أن الس رعة تساوي 75 كم/ ساعة واإلجابة الص حيحة هي s t املعطيات في القانون املالئم: 75.() 69

32 تفكير كم ي. في اليوم العاشر من حياته أكل فيل 5 حب ات حلوى. إزدادت شهي ته من هذا العمر فصاعد ا وفي كل يوم أكل ضعف ي حب ات احللوى ال تي أكلها في اليوم الس ابق. كم حب ة حلوى أكل الفيل في اليوم ال 4 من حياته 0 (4) 00 () 80 () 40 () في اليوم العاشر أكل الفيل 5 حب ات حلوى. مبا أن ه من هذا اليوم فصاعد ا أكل كل يوم ضعف ي حب ات احللوى ال تي أكلها في اليوم الس ابق إذن في اليوم ال أكل 0 حب ات حلوى ( 5) في اليوم ال أكل 0 حب ة حلوى ( 5) وهكذا دواليك. بشكل عام في اليوم (n + 0) أكل الفيل 5 n حب ات حلوى )n هو عدد صحيح وموجب(. لذلك في اليوم ال 4 أكل 80 حب ة حلوى (80 4 5) واإلجابة الص حيحة هي ().. في أحد املطاعم ميكن اختيار نوع سلطة واحد من بني أنواع مختلفة وواحدة من 4 وجبات رئيسي ة مختلفة. إضافة للس لطة والوجبة الر ئيسي ة ميكن االختيار كحلوى: كعكة أو بوظة. ما هو عدد الت شكيالت املختلفة لوليمة مؤل فة من وجبات )سلطة وجبة رئيسية وحلوى( ميكن تشكيلها في هذا املطعم 4 (4) 8 () 4 () () هنالك ثالث إمكاني ات الختيار سلطة. لكل سلطة يتم اختيارها ميكن أن ت ض م إحدى أربع الوجبات الر ئيسي ة املختلفة. أي يوجد 4 من الت شكيالت املختلفة لسلطة ووجبة رئيسي ة. لكل واحدة من الت شكيالت هذه ميكن إضافة كعكة أو بوظة. اي باملجمل توجد تشكيلة مختلفة لثالث وجبات وهي 4 إمكاني ة. لذلك اإلجابة الص حيحة هي.(4) 4. يستحق الط الب لقب.. فقط إذا اجتاز جميع االمتحانات وقد م جميع الوظائف. من ضمن 00 طالب 50 اجتازوا جميع االمتحانات و 5 قد موا جميع الوظائف. كم طالب ا يستحق لقب.. () على األقل 5 () على األكثر 85 () بالض بط 5 (4) على األقل 65 ميكن ان ن عر ف مجموعتني من الط ال ب: مجموعة الط ال ب ال ذين اجتازوا جميع االمتحانات ومجموعة الط ال ب ال ذين قد موا جميع الوظائف. كل طالب موجود في كلتي املجموعتني يستحق الل قب. مدى الت طابق بني املجموعتني غير معروف ولكن هنالك وضعان قصوي ان ممكنان. من ث لهما في الر سم: 70